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Análisis Matemático 66
2024
CABANA
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ANÁLISIS MATEMÁTICO 66 UBA XXI
CÁTEDRA CABANA
4.3.
En los siguientes ítems del ejercicio 1, calcular intervalos de concavidad positiva e intervalos de concavidad negativa y puntos de inflexión.
- a, b, c, d, e, f, g, h, i, k
b) $f(x)=x^{3}-3 x+1$
b) $f(x)=x^{3}-3 x+1$
Respuesta
$\textbf{1)}$ Identificamos el dominio de $f(x)$
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El dominio de $f$ es $\mathbb{R}$
$\textbf{2)}$ Calculamos $f''(x)$
\( f'(x) = 3x^{2} - 3 \)
\( f''(x) = 6x \)
$\textbf{3)}$ Buscamos los puntos de inflexión de $f(x)$ igualando la derivada segunda $(f''(x))$ a cero
\( 6x = 0 \)
\( x = 0 \)
Por lo tanto, \( x = 0 \) es candidato a punto de inflexión
$\textbf{4)}$ Dividimos la recta real en intervalos donde sabemos que $f''(x)$ es continua y no tiene raíces:
a) \( x < 0 \)
b) \( x > 0 \)
$\textbf{5)}$ Evaluamos el signo de \( f''(x) \) en cada uno de los intervalos:
Para \( x < 0 \), podemos tomar \( x = -1 \) como ejemplo:
\( f''(-1) = -6 < 0\)
Esto indica que \( f \) es cóncava hacia abajo en \( x < 0 \)
Para \( x > 0 \), podemos tomar \( x = 1 \) como ejemplo:
\( f''(1) = 6 > 0 \)
Esto indica que \( f \) es cóncava hacia arriba en \( x > 0 \)
Recapitulando,
- Existe un punto de inflexión en \( x = 0 \)
- \( f \) es cóncava hacia abajo para \( x < 0 \)
- \( f \) es cóncava hacia arriba para \( x > 0 \)