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Análisis Matemático 66

2025 CABANA

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ANÁLISIS MATEMÁTICO 66 UBA XXI
CÁTEDRA CABANA

Práctica 4 - Estudio de funciones

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4.3. En los siguientes ítems del ejercicio 1, calcular intervalos de concavidad positiva e intervalos de concavidad negativa y puntos de inflexión. - a, b, c, d, e, f, g, h, i, k
b) f(x)=x3−3x+1f(x)=x^{3}-3 x+1

Respuesta

1)\textbf{1)} Identificamos el dominio de f(x)f(x)

El dominio de ff es R\mathbb{R}

2)\textbf{2)} Calculamos f′′(x)f''(x)

f′(x)=3x2−3 f'(x) = 3x^{2} - 3
f′′(x)=6x f''(x) = 6x

3)\textbf{3)} Buscamos los puntos de inflexión de f(x)f(x) igualando la derivada segunda (f′′(x))(f''(x)) a cero

6x=0 6x = 0 x=0 x = 0

Por lo tanto, x=0 x = 0 es candidato a punto de inflexión

4)\textbf{4)} Dividimos la recta real en intervalos donde sabemos que f′′(x)f''(x) es continua y no tiene raíces:

a) x<0 x < 0 b) x>0 x > 0

5)\textbf{5)} Evaluamos el signo de f′′(x) f''(x) en cada uno de los intervalos:

Para x<0 x < 0 , podemos tomar x=−1 x = -1 como ejemplo: f′′(−1)=−6 <0 f''(-1) = -6  < 0 Esto indica que f f es cóncava hacia abajo en x<0 x < 0
Para x>0 x > 0 , podemos tomar x=1 x = 1 como ejemplo: f′′(1)=6>0 f''(1) = 6 > 0 Esto indica que f f es cóncava hacia arriba en x>0 x > 0

Recapitulando,

- Existe un punto de inflexión en x=0 x = 0 - f f es cóncava hacia abajo para x<0 x < 0   - f f es cóncava hacia arriba para x>0 x > 0
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